פתרון מבחן מתכונת מס' 21. פתרון שאלה 1 נסמן: x מהירות ההליכה של נועם. y מהירות ההליכה של יובל. נועם 2.5x 2.5 x יובל בתנועה יובל במנוחה משוואה I:

Transcript

1 פתרון מבחן מתכונת מס' פתרון שאלה נסמן: מהירות ההליכה של נועם. y מהירות ההליכה של יובל. מהירות זמן דרך נועם A 5 A y y יובל בתנועה 6 יובל במנוחה A y + 6 משוואה I: נועם ויובל שהו במשך אותו זמן בדרך: y y 7y.5 y I

2 נרכז את הנתונים על זמן תנועה לאורך קילומטר אחד בטבלה: מהירות זמן דרך נועם y y יובל יובל עובר קילומטר אחד ב- 5 דקות פחות מנועם. כלומר: משוואה :II 5 6 y y y y y y y y y נציב משוואה I במשוואה :II y y 8y y 4y y y ( y) y 6 [ ] y y 6 לא ייתכן 6 4 תשובה: מהירות ההליכה של נועם: 4 קמ ש. מהירות ההליכה של יובל: 6 קמ ש. צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית.

3 S נוסחה: ( q ) q פתרון שאלה. בסדרה הנדסית נתון: S 6 ראשונים החל ב S 6 אחרונים החל ב- 96 ( ) 6 6 q q q q q ± ( ) 6 q q משוואה :I 89 משוואה :II 96 נחלק משוואה II במשוואה I ונקבל: 6 6 q q q q 6 6 ( ) ( q 6 6 q : ) ( ) 6 q q q ( q ) 64 6 לאחר צמצום נקבל: 64 : נציב במשוואה I לקבלת q q 6 ( ) 89 ( ) 6 ( ) 89 9 או -9 תשובה:

4 * + א. נתונה הסדרה: 5. b מוגדרת על-פי הנתון: הסדרה ** b + p () b p כלומר: () b + b וכמו כן בדרך נוספת: b הוא סדרה הנדסית אשר מנתה. כלומר נשווה את הביטויים )( ו-) ( + p b + ונקבל: * ** נציב על-פי הנתון: p ( + p) p + p 5 p. 5 p + b + ( + p) ב. 8 b צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית.

5 פתרון שאלה ברנולי: נוסחת P k k P k P ( ) ( ) נוסחה: P ( B A ) P ( B / A ) P ( A ) k נסמן: - A מועמד עובר בהצלחה את מבחן הקבלה - B מועמד עובר בהצלחה את הריאיון P( B A) P( A). א.. נתון: P( B / A). 8 P( B A).496 תשובה:.496 P P לכל היותר 8 (. ) (. ) (. 496) (. 54) אחד יתקבל בדיוק אחד P התקבל היותר לכל אחד התקבל. 5 P ( B / A ). 8 אחד לפחות P ). ( ). ( יעבור ריאיון ב. נתון:

6 D C פתרון שאלה 4 א. AB DC נתון E O F משפט תלס DO OB CO OA G DO DB CO CA A B נתון, המשכי מקבילים EO AB EO משפט תלס AB DO DB נתון, המשכי מקבילים OF AB OF משפט תלס AB CO CA העברה OE AB OF AB AB AB גודל שווה לעצמו EOOF מ.ש.ל. א. נתון OG BC ב. EG GB קטע במשולש היוצא מאמצע צלע אחת ומקביל לשלישית חוצה גם את הצלע השנייה. צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית.

7 DC נתון: ג. AB יחסים על-פי משפט תלס יחסים על-פי משפט תלס על-פי סעיף א. מ.ש.ל. ג. DC AB DO DB EO AB DO OB DO DB EO EO EO OF EF 4

8 F A D פתרון שאלה 5 BD AC נתון א. BDC 9 B E C.BC תיכון לצלע DE נתון, BE EC DE BE EC תיכון ליתר במשולש ישר-זווית שווה למחצית היתר. נתון + הצבה FDB EDB זוויות שוות מול צלעות שוות ב- DEB DBE זווית מתחלפות שוות FDB DBE FD BC מ.ש.ל. הוכח כא FD BC ב. FD משפט תלס BC AD AC BC BE + EC BE DE תיכון ליתר במשולש ישר-זויות BC DE FD DE FD מ.ש.ל. DE AD AC AD AC צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית.

9 ג. ABD נתון 9 ADB נתון AB AD הניצב מול זווית בת במשולש ישר-זווית שווה למחצית היתר. AD X הצבה 6 ס"מ BD נתון על-פי משפט פיתגורס ב- ABD 6 + ( ) 6 AD 6.9 ס"מ AB 5 ס"מ DE נתון משפט פיתגורס ב- BDC 6 + DC 8 ס"מ DC AC נציב בהתאם להוכחה בסעיף ב. FD FD. FD., AB, AD תשובה:

10 β B m פתרון שאלה 6 נתבונן ב- BOD. OD BD רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה. t β OD m OD m t β A O β 9 β 9 β E D C m cos β OB OB m cos β AO OD OE רדיוסים לכן נקבל כי: AB AO + OB m t β + m cos β נתבונן ב- AOE. על-פי משפט הסינוסים: AE t m β si β si 9 ( β ) ( β ) si 9 cos β si β m si β cos β m t β si β cos β si β AE m t β si β cos β cos β cos β si β m AE m t β AB si β AO, + AB OB m t β תשובה: + cos β cos β צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית.

11 פתרון שאלה 7 ( ) f f ( ) + 4 ( + ) נתונה הפונקציה א. נמצא את שיפוע המשיק כאשר ( 4 + )( + ) 4( + )( 4 + ) 4 ( + ) ( + ) ( + ) f ( ) m 6 6 והוא אינו תלוי ב-. שיפוע המשיק הוא ב. נמצא את משוואת המשיק כאשר ( ) + + y ( ) f 4 + y + 4 y המשיק פוגש את ציר ה- y 4 משוואת המשיק: + y

12 g ( ) + ג. נתונה הפונקציה ( ) ( + ) ( ) + ( + ) ( + ) g 4 4 g ( ) + 4 ( + ) כלומר: f ( ) ( ) d g( ) f d + + d מבוקש S 4 4 צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית.

13 ק 9 AM פתרון שאלה 8 נסמן: CM ומכאן: נתון: 9 ק מ BC, לכן, על-פי משפט פיתגורס ב-. MB + 8 : BCM נסמן: y המסלול BMA כפונקציה של זמן: מהירות זמן דרך B M M + 8 A + 8 V.6V V.6V A + 8 y + V.6V y V + 8.6V נגזור לקבלת מינימום: ק M C "מ B.6V V + 8 : V > ( ) : < < >.75 y בדיקת מינימום: מינימום y ] Z תשובה: הנקודה M צריכה להימצא במרחק.75 ק מ מהנקודה C, כדי שזמן הנסיעה של הג יפ יהיה מינימלי. +

14 L פתרון שאלה 9 א. - גובה החרוט ריבוע רדיוס המעגל )פיתגורס(: R L V πr נפח החרוט: R לכן מקסימלי. V( ) π L V'( ) π L L ( ) V''( ) π 6 V'' L ± L L Y L π 6L < תשובה: גובה החרוט: si AO cos L BABO OB L AO Lsi OB L cos ב. נסמן: V( ) π ( L cos ) Lsi L π cos si V'( ) πl cossi + cos cos si + cos cos si cos 9 + 8k t 9 לא יתכן t צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 4

15 5.6 זווית חדה תשובה: 5.6 נבדוק מקסימום באמצעות טבלה 5.6 V'() + V() מקסימום V( ) L L L L π π L ג. נבטא את נפח הגוף עבור ( ). 8πL נפח הגוף עבור 5. 6 V( ) πl ( cos. ) si.. L π תשובה:. 8πL 5

16 פתרון מבחן מתכונת מס' פתרון שאלה נסמן: הזמן הדרוש לצינור א כדי למלא לבדו את הבריכה. הזמן הדרוש לצינור ב כדי למלא לבדו את הבריכה. 8%:.75 הזמן הדרוש לצינור ג כדי למלא לבדו את הבריכה. הספק לשעה של צינור א. הספק לשעה של צינור ב. הספק לשעה של צינור ג. זמן (הספק )בשעה עבודה 5 צינור א צינור ב 5 צינור ג המשוואה:.75 5 ( + + ) צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 6

17 תשובה: הזמן הדרוש לצינור א כדי למלא לבדו את הבריכה: 8 שעות. הזמן הדרוש לצינור ב כדי למלא לבדו את הבריכה: 4 שעות. הזמן הדרוש לצינור ג כדי למלא לבדו את הבריכה: שעות. b + 4 b + ( + 4) פתרון שאלה הוא סדרה חשבונית שהפרשה הוא 4. +, + כלומר. א. נתון 4. + באמצעות על-פי הכלל נבטא את b , נתון: b + b כלומר, b 7 b הוא סדרה חשבונית: נוכיח כי b + - b b הוא, הפרש הסדרה b + 7, נתון: 5 b תשובה: 7 נוסחה: : כפונקציה של b ב. נוסחה ל- + ( ) d b 7 + ( - ) b + 5 נוסחה: S d [ + ( ) ] ( - כלומר ) 4, ג. נתון 8 מפתרון המשוואה נקבל: S [ ] 7

18 S q. המכונית עברה דרך של 86 במשך 5 ימים כלומר: נוסחאות: ( q ) q 5 ( q ) 86 q ביומיים הראשונים עברה דרך הקטנה פי 4 מאשר ביומיים הבאים אחריהם. 4( + ) + 4 כלומר: משוואה )( 4( + q) q + q S 5 משוואה )( 86 נוציא גורם משותף משני צידי משוואה זו ונקבל: 4 ( + q) q ( + q) 4 q : + q q ± מרחק אינו שלילי לכן q נציב q במשוואה )( ונקבל: 5 ( ) : 6 תשובה: המכונית עבר דרך של 6 ק"מ ביום הראשון. צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 8

19 פתרון שאלה הטלת קוביה בחירת עמדה )קשת גדולה( -6 )קשת קטנה( החטיא פגע החטיא פגע ) פגע P( א. קשת קטנה P פגע. 6 ב. 9

20 C E A B D F פתרון שאלה 4 א. צ"ל: AB EF הוכחה: נתבונן ב- ADB וב- EDF AD DE נתון משולש שווה שוקיים BD DF נתון משולש שווה שוקיים EDB הצבה 9 ADE BDF נתון משולש ישר זווית סכום זוויות ADB EDF 9 + )צ.ז.צ( ADB EDF AB EF צלעות מתאימות במשולשים חופפים ב. 9 ABC נתון DFE DBA הצבה + זוויות מתאימות במשולשים חופפים נתון משולש ישר זווית ושווה שוקיים DFB 45 FBD BFE 45 - חיסור זוויות CBF חיבור זוויות CBF + BFE 8 ג. מתוצאות סעיף ב' נקבל EF CB זוויות חד-צדדיות שסכומן 8 AB EF הוכח בסעיף א'. AB CB נתון EF CB כלל המעבר BCEF מקבילית, אם במרובע זוג צלעות נגדיות מקבילות ושוות המרובע הוא מקבילית. צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית.

21 פתרון שאלה 5 A 8-8- K B נתון: המרובע KBCL בר-חסימה במרובע חסום במעגל BKL + 8 BCL סכום הזווית הנגדית הוא 8 D L 8- C BKL הצבה BCL 8 חישוב DKL 8 זוויות צמודות DAL 8 זוויות הקפיות על אותה קשת DL שוות. AD BC זוויות מתחלפות שוות. מ.ש.ל.

22 פתרון שאלה 6 א. נתון: ABAC B 9 9 A 8 O 9 F D C S BCA AF בניית עזר: נחבר את A ל- D )המשך ) BF על המעגל. 9 SBAD זווית היקפית הנשענת על קוטר SADB SBCA זוויות היקפיות על אותה קשת ABC סכום זוויות ב- SBAC 8 ABD סכום זוויות ב- SABD 9 ABC סכום זוויות ב- SDBC 9 BFC זווית חיצונית ל- SAFB 9 o נתבונן ב- AFB : זהויות si( ) si si(9 ) cos AB si 9 si 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) si 9 si 9 AB AB si 9 cos cos AB cos נתבונן ב- BAC : AB si BC si AB BC si si 8 ( ) cos si cos si BC cos cos צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית.

23 A רדיוס המעגל החסום: M מרכז המעגל החסום הוא נקודת מפגש חוצי זוויות המשולש. B M C SABM S MBK במשולש שווה-שוקיים מרכז המעגל החסום ומרכז המעגל החוסם BK BC cos MK t cos נמצאים על הגובה לבסיס ולכן הוא גם תיכון. נתבונן ב- MBK : MK רדיוס המעגל החסום. MK cos t t ב. נתון: BC R BC cos R cos si( 8 ) si r MK cos t מסעיף קודם: R r 5 נתון: R r cos : cos t cos si si cos t 5 si t si si כלומר: cos si cos. תשובה: 8

24 . y b b פתרון שאלה 7 א. נתונה הפונקציה: על-פי הנתון, האסימפטוטות נחתכות בנקודה ), ), כלומר: b 4 b היא אסימפטוטה אנכית y היא אסימפטוטה אופקית. נציב במכנה ונשווה לאפס: b נקבל משוואה I: אסימפטוטה אופקית: lim + b b y lim lim Z ± ± b b ] lim b b b על-פי הנתון, נקבל משוואה,II כלומר: b b : ( ) b לא ייתכן תשובה:. b צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 4

25 f ( ) ב. הפונקציה: ( ) f ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) תחום ההגדרה: > או < > נמצא את נגזרת הפונקציה: 4 f ( ) < ( ) לכל המכנה ב- ( f ( תמיד חיובי, לכן סימן הנגזרת תלוי במונה. < 4 לכל, לכן הפונקציה יורדת לכל > או <. ג. 5

26 אסמימפטוטות אופקיות: ± y, אסימפטוטה אנכית: הפונקציה יורדת לכל > או <. 8 8 * d 4 4 ד ( 8 8).99 * אינטגרל באמצעות זיהוי נגזרת פנימית ונגזרת חיצונית או אינטגרל בהצבה: u du d du d d du u + c u תשובה: השטח.99. צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 6

27 ( ) ( ) ( ). ( ) פתרון שאלה 8 f נקודת מקסימום מקומי של א. I נתון: כלומר נתון: ( ) f. ( ) f <. g( ) f ( ) נתון: g היא נקודת מינימום מקומי של נראה כי. ( ) ( ) f ( ) ( ) f g g f f f g ( ) סימן בלבד ( ) { שלילי היא נקודה החשודה כקיצון. כלומר ( ) f < נתון: g > ) ( )סימן בלבד( נקודת מינימום מקומי. כלומר. f ( ) נקודת מינימום מקומי של א. II נתון: כלומר נתון: ( ) f. ( ) f >.. g( ) היא מקסימום מקומי של נראה כי ( ) הראנו קודם כי g 7

28 ( ) נותר להראות כי < g f g ( ) סימן בלבד ( ) חיובי ) ( סימן בלבד g <. )g ) היא נקודת מקסימום מקומי של כלומר ( ) 4 4 ( ) ב. נתונה הפונקציה + 5 f ( ) [ ] ( ) f 4 (,5 ( נקודת מקסימום ( ) f 4 < f ± 8 > ) ( ),4 ( נקודת מינימום [ (,4 ( נקודת מינימום g ( ) f ( ) f 4 4 נמצא נקודות קיצון: הנקודות:,4) (,4) (,5) ( על פי סעיף א:, נקודת מינימום נקבל: 5 צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 8

29 נקודות מקסימום., 4,, 4 ג. על סמך סעיף א: כמו כן נתון כי > ) P( לכל. P( ) m(,5) mi, 5 m( ) mi, 5 m(,5) גרף אפשרי: 9

30 פתרון שאלה 9 נסמן ב- את רדיוס הבסיס. נפח הגליל: V πr h נתון: V 8π π כלומר: h 8 π h נחלץ את : h 8 P( ) π + π 8 P( ) π + 6π P'( ) 4π 6π 4π 6π : π 4 6 : 4 54 Y Y Y P''( ) 4π + 4π P''(. 77) > שטח פני הגליל נגזור לקבלת מינימום: ולכן מינימלי. תשובה:.77 ס"מ צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית.

31 פתרון מבחן מתכונת מס' פתרון שאלה נסמן: מהירות הנסיעה של רוכב האופניים. y זמן הנסיעה עד הפגישה. נרכז את נתוני השאלה בטבלה: מהירות זמן דרך משאית y y אופניים y y עד הפגישה עד הפגישה נסעו רוכב האופניים ונהג המשאית את כל המרחק, כלומר: y + y 4 4y 4 : 4 y 6 Z ] 8 6 y משאית 6 y אופניים כלומר, עד הפגישה: נהג המשאית נסע 8 ק מ. רוכב האופניים נסע 6 ק מ. נשתמש בנתון זה לחישוב מרחק הנסיעה נשתמש בנתון זה לבניית טבלה המתארת את הדרך חזרה.

32 דרך זמן מהירות + משאית אופניים שעות יותר בדרך: 4 המשוואה: האופניים היו 4( 5)( מכנה משותף ( + 4( + ) 7( 5) + 7( 5)( + ) : 7 + 5, 5 ± 5 Z 6 ] מהירות היא מספר חיובי. תשובה: מהירות המשאית בהתחלה: 6 קמ ש צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית.

33 , + פתרון שאלה כלומר: +. א. נתון כי:. q הוא סדרה הנדסית. מנת הסדרה b , נתון b b b + b על-פי הכלל: כלומר, b הוא סדרה הנדסית: נוכיח כי b + 7 b 9 מנת הסדרה b היא. נתון: b כפונקציה של על-פי נוסחת האיבר בסדרה הנדסית ב. נוסחה ל- b ( ) b 6 9, כלומר : ( ) ( ) ( ) נוסחה: נחשב על-פי נוסחת הסכום: ( q ) 7 S 6 q 9 ( ) S 7 4. הערה: מאחר שמנת הסדרה b היא ניתן לחשב בקירוב את סכום האיברים ללא תלות במספר נוסחה: האיברים על-פי נוסחת הסכום לסדרה הנדסית אינסופית יורדת, כלומר: S 6 q S 9 4. ג. נוסחה: q

34 + ( ) d S נוסחה: [ + d ( ) ]. נתונה הסדרה..., 4-46, -5, -54, d 4, 4, א ( ) תשובה: בסדרה יש 75 איברים. ב. נמצא ערך של שבו מתקיים < 54 + ( )4 < < 4 < 58 < בסדרה 4 איברים שליליים ג. בסדרה 75 איברים, מהם 4 שליליים, כלומר איברים חיוביים. 5 האיבר החיובי הראשון הוא S [ + ( ) ] צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 4

35 S > [ ( 54) + ( ) 4] > ( ) > ( + 4) > 56 + > 56 > / : 8 6 > ( )( + ) > ד. צריך להתקיים: > או < מספר טבעי S [ ( ) + ] > נראה שעבור מתקבל סכום שאינו גדול מ-. S [ ( ) + ] S 86, תשובה: 5

36 P( A B) 7 4 P( A B) 4 פתרון שאלה נסמן מאורעות: - A עבר בהצלחה מבחן ראשון. - B עבר בהצלחה מבחן שני. או נתון: N(S) N( A) 8 N( B) 5 P( A B) 7 4 P( A) + P( B) P( A B) P( A B) P( A B) P( A B) 9 4 N( A B) 9 4 N( A B) 45 P( B / A) P( A / B) 4 4 א. ב. ג. ד. סה"כ A B סה"כ צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 6

37 F A B פתרון שאלה 4 צ"ל: BEDF ריבוע הוכחה: D 45 O E 45 C AB DC נתון AD BC נתון AC BD בטרפז שווה-שוקיים האלכסונים שווים. BCD( ADC צ.ז.צ( AC BD נתון שהאלכסונים מאונכים 45 BDC ACD מתקבל משולש ישר זווית ושווה שוקיים נתון אנך אמצעי OE DB DO OB BDE במשולש שווה שוקיים הגובה מתלכד עם התיכון. DE BE חוצה-זווית הראש במשולש שווה שוקיים OEB 45 OED תיכון ליתר שווה למחצית היתר DO BO OE FE AC זוויות מתאימות המשכי מקבילים AF EC מקבילית, מרובע שבו כל זוג צלעות נגדיות מקבילות AFEC צלעות נגדיות במקבילית FE AC כלל מעבר BD FE BEDF בריבוע, האלכסונים מאונכים זה לזה, חוצים זה את זה ושווים זה לזה. 7

38 A M B פתרון שאלה 5 א. נתון: AD BC AB DC E F בנית עזר: EF קטע אמצעים צ"ל: EF AD D N G C הוכחה: EF קטע אמצעים בטרפז שווה AB + DC למחצית סכום הבסיסים. AB + DC AD + BC במרובע חוסם מעגל סכום זוג אחד של צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני. AD BC נתון AB + DC AD EF הצבה AD EF AD מ.ש.ל. ב. על פי תוצאות סעיף א' נקבל ס"מ EF AD BC AB DC נתון 5 ABC נתון D C זוויות חד צדדיות בין מקבילים + זווית ליד הבסיס שוות. - MN קוטר המעגל הוא המרחק בין הבסיסים על פי המשפט רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה. BG MN קוטר המעגל שווה לגובה הטרפז. ב- BGC BG ניצב מול זווית בת שווה למחצית היתר. 5 ס"מ תשובה:.5 ס"מ R צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 8

39 A פתרון שאלה 6 נתבונן ב- ADC : cotα DC b B M β β D b α N α C DC bcotα cot β BD b BD b cot β נתבונן ב- ADB : או S ABC AD BC b( b cotα + bcot β ) b ( cotα + cot β ) b si( α + β ) א. siα si β o SAND S AMD 9 ב. משפט. זווית היקפית הנשענת על קוטר שווה ל- 9. סכום הזוויות הנגדיות במרובע חסום במעגל הוא 8 9 MDB, S מכאן: o β ובאותו האופן NDC 9 o o נתון: 9 ADC, S ולכן S α SADM β ו- SADN α S MDN α + β לפי משפט, S BAC 8 ( α + β ) : ABC DN DN bcosα cosα b MD MD bcos β cos β b אפשרות נוספת: נתבונן ב- נתבונן ב- AND : נתבונן ב- ADM : 9

40 S MND DN MD si SMDN b cosα b cos β si( α + β ) יחס השטחים נצמצם בהתאם ( b cosα cos β si( α + β MND )) ABC si( α + β ) b siα si β si α si β cosα cos β siα si β 4 על-פי נוסחה לזווית כפולה צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 4

41 m. f ( ) ( ) m m m ( ) m( ) ( m ) f m m m ( ) m( ) ( m ) f 5 m פתרון שאלה 7 א. נתונה הפונקציה f ( ) נתון 5 ( ) m m m m שים לב: ( m) 5 m 5 ( m )( m ) 5 + ( ) ( ) תשובה: m m 5 ב. הפונקציה: f 4 f f ( ) 4 4 תחום ההגדרה: 4 ± 4 4

42 תחומי עלייה ותחומי ירידה: ( ) ( 4 ) ( 4 ) f + ( ) f ( ) הביטויים הללו חיוביים לכל ± 4, ( ( היא ביטוי שלילי לכל בתחום ההגדרה. או 4 < 4 4 < < > או > 4 ( ) > לכן נקבל כי < f תחומי ירידה: 5 m 5 f ( ) ( ) 5 ג. ( ) ( ) על פי הנתון: g f ( ) d ( ) ( ) ( ) g f f f 5 ( ) ( ) צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 4

43 y y A S S y פתרון שאלה 8 א. נמצא את נקודות החיתוך בין הפרבולות: ( ) (, ) A, 4 תשובה: S הוא השטח הכלוא בין הגרפים בין הנקודה לנקודה : ב. S ( ) d ( ) d ( ) 8 4, S נחשב את סכום השטחים, S + S שהוא למעשה השטח בין גרף הפונקציה כדי לחשב את y ובין ציר ה- בין הנקודות, :(,) ( ) ( ) S + S ( ) d 6 S מהשטח הכולל S + S ונקבל: S על-ידי חיסור נחשב את S

44 S S 8 ( ) π ( ) V π d + d 4 4 ( ) π ( ) π d + + d π + π נחשב את יחס השטחים: ג. חשוב נפח גוף סיבוב: π ( ) π π π + π ( + ) צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 44

45 פתרון שאלה 9 AB נתון: AC A נסמן: S ABE S ECA זווית היקפית על אותה קשת E o נתון כי: 7 ABC S S EBC 7 o נתבונן ב- ABE : B 7 o o 7 7 o C AE על פי משפט הסינוסים: R si AE Rsi נתבונן ב- EBC : EC R si 7 ( ) ( ) EC Rsi 7 EB R si 7 + ( ) ( ) EB Rsi 7 + f ( ) EA + EB + EC ( ) R + R ( ) + R ( + ) f si si 7 si 7 ( ) ( ) R ( ) ( ) f cos cos 7 + cos 7 + α + β α β cosα cos β si si ( ) R cos si 7si הפונקציה שעבורה יש למצוא מקסימום: נשתמש בנוסחה: 45

46 o cos si 7 si : cos si 7 t t si 7 o 8.6 o 8.6 ( ) f + ( ) מקסימום f Z ] תשובה: עבור 8.6 A SABE הסכום EA + EB + EC הוא מקסימלי. צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 46

47 פתרון מבחן מתכונת מס' 4 פתרון שאלה נסמן:. מספר הדקות הדרושות לצינור א כדי למלא לבדו את הבריכה..8 מספר הדקות הדרושות לצינור ב כדי למלא לבדו את הבריכה. + מספר הדקות הדרושות לצינור ג כדי למלא לבדו את הבריכה. נרכז את הנתונים בטבלה: זמן יחד )בדקות( הספק בדקה סה כ הספק צינור א.8.8 צינור ב + + צינור ג ( ) המשוואה: מכנה משותף ( + ) + ( + ) + ( + ) 8 8.8, ± מספר חיובי.6 ולכן תשובה: הדקות הדרושות לכל צינור כדי למלא לבדו את הבריכה: צינור א: דקות. צינור ב: 4 דקות. צינור ג: 4 דקות. 47

48 b + + b b ( ) ( ) b + q + q b + q + q + + פתרון שאלה + q + q. א. נתון: b + + ( b ) q b נוכיח כי הסדרה החדשה היא סדרה הנדסית: q. היא סדרה הנדסית. קיבלנו כי מנת הסדרה החדשה היא נתון כי סדרת ה- q, b 6 ב. נתון: + q + q q 9, 66 b 6 5 : ג. נתון: נוסחה: q צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 48

49 S + נוסחה: [ ]. נתונה סדרה חשבונית שבה כל איבר הוא יחידת זמן הנמשכת 5 דקות. כלומר הריצה נמשכה 5 דקות. נתון: האיבר הראשון הוא המרחק שעבר הרץ ב- 5 הדקות הראשונות: ב- 5 הדקות האחרונות 55 נתון שהרץ עבר 9, מ' S כלומר: 9, [, + 55] 9, נציב בנוסחת הסכום ונקבל: (, 55) 9, יחידת זמן היא 5 לכן: 6 5 תשובה: הריצה נמשכה במשך 5 דקות, כלומר 6 דקות שעה. 49

50 פתרון שאלה לבן שחור 8 צהובים אדומים אפור 4 צהובים 6 אדומים אדומים א. בחירת כד כד לבן כד שחור כד אפור אדום צהוב אדום צהוב אדום צהוב נחשב את ההסתברות להוצאת כדור אדום. ) אדום P( נבחר הכד P האפור 6 הוצא כדור אדום ב. תשובה: בחירת כד לבן שחור אפור אדום צהוב אדום צהוב אדום צהוב נחבר את כל ענפי העץ המסתיימים בצבע אדום: ) אדום P( ) אדום P( 79 5 צהוב 9 9 אדום אדום צהוב אדום צהוב אדום צהוב אדום צהוב אדום צהוב 79 תשובה: 5 צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 5

51 A פתרון שאלה 4 AB AC נתון + הצבה F E B זווית בסיס במשולש שווה-שוקיים + הצבה C ABC סכום זווית במשולש A 8 - B D C DE AB נתון DF AC נתון מקבילית AEDF מרובע שבו כל זוג צלעות נגדיות מקבילות. זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים CED BFD 8 - חישוב זוויות ב- EDC FDB, בהתאמה. EDC FDB ED EC b מול זוויות שוות צלעות שוות + הצבה. AE AC - EC - b חיסור צלעות. AE FD - b צלעות נגדיות במקבילית שוות + העברה. FD + DE - b + b FD + DE AB מ.ש.ל. 5

52 פתרון שאלה 5 CE AB נתון DA AB נתון DAE CEB 9 DA CE זוויות מתאימות שוות. ABC שווה צלעות - נתון. AE EB גובה במשולש שווה צלעות הוא גם תיכון ADB הוא קטע אמצעים ב- EG על פי המשפט: קטע היוצא מאמצע צלע אחת במשולש ומקביל לשלישית חוצה גם את הצלע השניה. D C G A E B DG GB מ.ש.ל. צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 5

53 פתרון שאלה 6 A E β R O β B 4 5 β β 4 R D β 9 C רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה OE R SOEA 9 OD R SODC 9 נתון: S BAC β β B B B C 9 זוויות הבסיס: S DOC ולכן: β הקטע המחבר נקודה שיוצאים ממנה שני המשיקים למעגל עם מרכז המעגל חוצה את הזווית בין המשיקים o o 5

54 β כלומר: SEBO S OBD וכל אחת מהן שווה ל כמו כן:, BE BD על-פי המשפט: שני משיקים היוצאים מאותה נקודה למעגל שווים עד נקודת ההשקה β β DC נתבונן ב- DC R t t : ODC R β β BD R cot 45 cot BD R נתבונן ב- BOD : β β BC DC + BD R t + R cot 45 4 לכן: AE נתבונן ב- AE R cot β cot β : AEO R AB AE + EB ולכן שוק המשולש: β AB R cot β + R cot 45 4 R R AB AO + OC + β cos si β תשובה אפשרית נוספת: צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 54

55 y. (4,9) (5,9). ( t, t + 8t 7).. (,) (7,) y y m ונשווה ביניהם: פתרון שאלה 7 y א נשרטט את גרף הפונקציה: הפונקציה חותכת את ציר ה ( )( ) 7 y נקודת הקיצון: ( t, t 8t 7) 4; y m ( 4,9) נסמן נקודת השקה ב: + נמצא את שיפוע המשיק על-פי הנגזרת בנקודה זו ועל-פי הנוסחה שיפוע על-פי הנגזרת שיפוע על-פי הנוסחה y ( ) t + 8 t ( ) 9 t + 8t 7 t 8t + 6 m 5 t 5 t נשווה שיפועים לקבלת t: t 8t + 6 t + 8 ( t + 8)( 5 t) t 8t t t + t + 4 8t t 8t + 6 t t + 4 ( t )( t ) 6 4 t 6 t 4 y y 5 y 9 ( 6,5 ) ( 4,9) y ( t ) y ( t ) y נקודות ההשקה: שיפועי המשיקים: 55

56 משוואות המשיקים: משיק מקביל לציר ה- ומשוואתו: 9 y y y 5 4( 6) משיק S בין משיק לגרף הפונקציה בין הנקודות 4 ו- 5. ב. נחלק את חישוב השטח לשניים: S בין משיק לגרף הפונקציה בין הנקודות 5 ו S 9 ( 8 7) + d ( 8 + 6) d ( ) ( ) S d + 6 d S + S 5 4 y y -4+9 y צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 56

57 פתרון שאלה 8 א. נקודות חיתוך עם ציר : y, h( ) g( ) f ( ) + + A, A, A, ( ) + ב. התנהגות בסביבת הנקודה. סימון: שואפת מימין ל-.. שואפת משמאל ל- f ( ) + g( ) h( ) + y y y + y + y + תשובה: לפונקציה ( f ( מתאים גרף )( לפונקציה ( )g מתאים גרף )( לפונקציה ( )h מתאים גרף )( + ג. פונקציה )א(: y ( ) ( ) + 4 y 4 4 ( ) + 4 ] [ 4 תחום ההגדרה. 57

58 y B 4, 8 ( 4)( 4 ) 4 ( 4) 8 ( + ) ( + ) y y 6 8 נקודת מינימום: y 9 ( 6) C 6, 9 נקודת פיתול: 6 y + + y ד. קעורה כלפי מעלה U קעורה כלפי מעלה U קעורה כלפי מטה I קעורה כלפי מעלה: > או < < 6 קעורה כלפי מטה: 6 < f '( ) ה. על פי תוצאות סעיפים קודמים ניתן לראות לכן זוהי נקודת חיתוך עם ציר ה- f )' (4 (6 )'' f לכן זוהי נקודת קיצון ונגזרתה משנה סימן על פי הטבלה בסעיף קודם. לגרף הנגזרת אסימפטוטות: y, y' 4 גרף הנגזרת: 4 צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 58

59 4 f '( ) d f ( ) f ( 4) f ( 6) f ( ) + + f ( 4) f ( 6) 9 7 ו. תשובה: M ( ) f ( ) + M ( ) + + ז. אסימפטוטות: y, הפונקציה ( M ( היא הזזה של ( f ( על ציר ה- y יחידות למעלה. כלומר שיעור ה- של נקודת הקיצון ושל נקודת הפיתול נשאר כשהיה אולם שעור ה- y גדל ב- יחידות. כלומר: M ( ) mi 4, + 8 פיתול 6, + 9 y 59

60 ( ) y y פתרון שאלה 9 א. נתונה הפונקציה: + 8 נתון כי: y ( ) נחשב את : ב. משוואת המשיק: y ( ) ( ) y 6 + y 8 y ג. נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה- : (,6) 8 8 שטח המשולש שהמשיק יוצר עם ציר ה- : S נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה- : נחשב את השטח בין גרף הפונקציה לנקודות -, : ( 8) + d צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 6

61 ( ) ( ) ( 4 6) נחסר משטח זה את שטח המשולש שקיבלנו קודם לקבלת השטח המבוקש. מבוקש S ד. חישוב הנפח: π V π ( + 8) d π ( 8) d 6 ( ) d π ( ) d 7 4 π π ( ) π π 78 π

62 פתרון מבחן מתכונת מס' 5 פתרון שאלה נסמן מספר התרגילים שפתר נועם בשעה. נכניס את הנתונים לתוך טבלה. זמן עבודה מספר תרגילים בשעה - קצב סה כ תרגילים 4 4 נועם שלב א שלב ב נדב שלב ג נשווה בין זמן העבודה של נועם לזמן העבודה של נדב: ( + ) + ( + ) ( + ) + ( ) ( )( ) תשובה: נועם פתר 5 תרגילים בשעה. לא ייתכן צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 6

63 פתרון שאלה A. א. נסרטט מספר ריבועים על-פי ההנחיה בשאלה: E B 6 6 H 6 6 F D G C צלעות הריבועים במקום אי-זוגי, כלומר ריבוע ראשון, שלישי, חמישי וכך הלאה, מהוות סדרה הנדסית אינסופית יורדת כאשר כל צלע ריבוע מהווה מצלע הריבוע הקודם, כלומר מתקבלת סדרת הצלעות במקום אי-זוגי:.5,... 4,, 6,, צלעות הריבועים במקום זוגי, כלומר ריבוע שני, רביעי, שישי וכך הלאה, מהוות סדרה הנדסית אינסופית יורדת, אף היא בעלת מנה כאשר איברה הראשון הוא על-פי משפט פיתגורס HE + HE, 6,,. 5,... לכן סדרת הצלעות במקום זוגי: סדרת כל צלעות הריבועים אף היא סדרה הנדסית אינסופית יורדת נוסחה: S q 4,,, 6, 6,,,. 5,. 5,... שמנתה: סדרת היקפי הריבועים אף היא סדרה הנדסית יורדת: 4 4, 4, 4, 4 6,... נחשב על-פי נוסחת הסכום 6

64 את סכום היקפי הריבועים: נוסחה: S q נכפול בצמוד S 96( + ) ב. סכום סדרת שטחי הריבועים הוא סכום ריבועי האיברים, כלומר: S 4 5 סמ"ר. נתון כלל הנסיגה: א. נחשב את האיברים הראשונים בסדרה: ( ) ( ) ( ) ( 4) ( 5) ( 4) ( ) הסדרה:..., 4,,,, 8 4, + באמצעות כלל הנסיגה: ב. נבטא את ( + ) צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 64

65 + על פי כלל הנסיגה: נחליף את הביטוי + + ( + ) מ.ש.ל. כלומר: ג. על פי סעיף ב' הוכחנו כי סדרת האיברים העומדים במקום זוגי או אי זוגי הן סדרות חשבוניות בעלות הפרש. יש לחשב את הסכום נוסחה: S S [ + d] ( ) S [ 8 + ( ) ] S 7 תשובה: 7 65

66 S ( ) 9 + פתרון שאלה נסמן מאורעות: - A הצלחה במתכונת. - B הצלחה בבגרות. נתון: 5 N(S) N( A B) N( A B), P( A). P( B / A). 9 P( B A). 9 P( A) P( B A) P( B A). 7 P( A B) P( A ידוע כי (B A N( A B) P A. 8 B5P 4 A B P( A B) P( A / B). 8 P( B).. 4 א. ב. סה"כ B סה"כ צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 66

67 A פתרון שאלה 4 מרכז המעגל החסום במשולש הוא נקודת מפגש חוצי זוויות המשולש D 4 B y O C AC משפט חוצה-זווית BC C C AD. DB 9 B נתון משפט פיתגורס ב- ABC AB + BC AC. 4 ס"מ BD, ס"מ BC נתון AD הצבה AC y נציב ב-) ( וב-) ( בהתאמה y y ( ) ( + 4) + y Y: 8 ( 5)( + 4) לא ייתכן y 5 5 תשובה: 5 AD AC 5, 67

68 ב. AO חוצה-זווית על-פי המשפט שצוין לעיל משפט חוצה-זווית AD AC DO OC 5 5 DO OC DO מ.ש.ל. ב. OC ג. ב- BDC משפט פיתגורס DC OC t על-פי סעיף ב'. 4 + DC נסמן: DO t t + t 6 4t 6 4t 4 t. 6 תשובה: DO OC, צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 68

69 B A F G E 9 D פתרון שאלה 5 א. ב- ABG, BFG G ז. משותפת האלכסונים במעויין G 9 מאונכים זה לזה וחוצים זוויות. A הצבה A נתון 9 AEB זוויות קודקודיות + סכום זווית ב- AFE F F 9 C סכום זווית ב- ABG ABG 9 )ז.ז( מ.ש.ל. ABG ~ BFG ב. ב- AFE, BDE חישוב זוויות ב- AGD D 9 מסעיף א + חישוב זוויות ב- EBD EBD A נתון E E 9 AFE ~ BDE )ז.ז( מ.ש.ל. ג. נתון: 8 ס"מ AC, 6 ס"מ BD 4 ס"מ AG, ס"מ BG האלכסונים במעוין חוצים זה את זה. צ"ל: AF על פי משפט פיתגורס ב- AGD יחס הדמיון סעיף א. הצבה AD AD 5 BG FG AG BG 4 FG ס"מ FG.75 ס"מ.5 4 AF תשובה:.75 ס"מ AF 69

70 פתרון שאלה 6 B א. A F 6 4 M 7 E 8 D פ 8 פ פ 8 פשגיאה! הסגנון אינו מוגדר. פ 8 פשגיאה! הסגנון אינו מוגדר. C תיכונים במשולש מחלקים זה את זה ביחס :, החלק הגדול הוא החלק הקרוב לקודקוד לפי המשפט: BM CM 4 ME 7 MF AM 6 MD 8 נתבונן ב- MEC וב- MAC. נשתמש במשפט הקוסינוסים בשני המשולשים עבור S MCA זווית משותפת. נוסחה: c + b b cosγ + b c cosγ b משפט הקוסינוסים: נבודד cosγ ונקבל: צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 7

71 MEC MAC cos ( ) + 6 cos ( ) נשווה בין הביטויים ונקבל: AC תשובה:.4 AC ב. cos EMC sibemc si BEMC cosbamc ( ) 6 cosbamc BAMC BBMD S AFMD FMB BMD S + S 4 si si סמ"ר תשובה:.56 סמ"ר 7

72 B ג. על פי זוויות קודקודיות A F y S S S E z M y S z S S D S S S C BMF BMD DMC z S si γ CME z y S si AME y S siβ FMA BM BM BM BM 4 BM β 5 BM γ 6 על פי מפגש תיכונים: CM MF AM MD y BM ME z תיכון מחלק משולש לשני משולשים שווי שטח )לשני המשולשים צלע וגובה לצלע זהים( מכאן נקבל S S S BMF FMA CME כלומר נקודת מפגש התיכונים מחלקת את המשולש ל- 6 משולשים שווי שטח. נסמן כל שטח משולש ב- S S S BFMD ABC S 6S לכן S ABC ד צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 7

73 פתרון שאלה 7 ( ) ( 6) 4 ' א. נתון: f ' כדי למצוא את ) f ( נבצע אינטגרל ל- (, f ( באמצעות זיהוי נגזרת פנימית ונגזרת חיצונית. כלומר ( 6 ) 4 d ( 6 ) 5 "ננחש" + c ונבדוק ע"י גזירה שאכן מתקבל הביטוי בתוך האינטגרנט או באמצעות שיטת ההצבה. u 6 נסמן: על-ידי גזירה של שני האגפים נקבל: du d du ולכן: d * du ( 6) d ( u) d ( u) 5( ) 4 5 u u du 5 + C ( 6) 5 + C 5 נציב :* ( ) ( 6) 5 f + C ( ) C C ( ) ( ) 5 נציב,( :)4 תשובה: 6 + f ( ) 4 6 ב. f ( ) [] 6 ± 4 y y ( 6) 5 + 7

74 נאפיין את סוג הנקודות באמצעות טבלה: < < < < < 4 4 > 4 y y פיתול מינימום + פיתול ] ] Z Z + מסקנות: ) ( 4, ) 4, ( נקודות פיתול. נקודת מינימום. 5 ( 6) + ( 6) ±. 84 Y 5 f ( ) ( 6) ג. + כאשר ) f ( (. 84, ) (. 84, ) y ד. גרף הפונקציה f() -4 4 צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 74

75 ה. על סמך הטבלה והתוצאות מסעיפים קודמים y f'() f '( ) ( 6) 4 הסבר: גרף הנגזרת מתאפס בנקודות ± 4, ועל פי תחומי חיוביות/שליליות המוצגים בטבלה בסעיף ב. 4 f '( ) d + f '( ) d 4 4 f ( ) f ( ) 4 f ( 4) f ( ) f ( ) + f ( 4) 6 f ( ) ו. 4) f( f( 4) חושב בסעיף ב. הערה: 75

76 y y 6 + פתרון שאלה 8 S שטח מקווקו )עליון(. א. נסמן: S שטח מנוקד )תחתון(. (, ) y מנוקד S S מקווקו ( ) 6 S 6 + d + + נבנה את הפונקציה כפונקציה של, המתארת את יחס השטחים, ועבורה נמצא מינימום, כלומר: ( ) + f + f ( ) ± ולכן > ( ) f ( ) מינימום f ] Z עבור יחס השטחים הוא מינימלי. + צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 76

77 h( ) 6 + ב. h''( ) 4 h'' < m h'' > mi ( ) + ( 6 + ) h'( ) ( ) h'( ) h'( ) ±,. 46 m,. 46 mi. תחום הגדרה:. נקודות קיצון: גרף הפונקציה: 77

78 y h'( ) +. אסימפטוטות: כאשר < h( ) יורדת לכן ) h'( שלילית ) h( עולה לכן ) h'( חיובית h < <, < < כאשר כאשר > h( ) יורדת לכן ) h'( שלילית גרף אפשרי של הנגזרת: y צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 78

79 mi ( ) כלומר:, ( ),4 פתרון שאלה 9 א. נקודת המינימום f ( ) f + 5 נתון: נשתמש בשיטת ההצבה: או באמצעות "ניחוש" על פי זיהוי הנגזרת הפנימית והחיצונית ובדיקה שאכן מתקבל הביטוי בתוך האינטגרנט d C + 5 u נסמן: + 5 du נקבל: d ( ) מכאן: du d נבצע אינטגרל ל- ) f ( לקבלת ) f ( ונציב את התוצאות שקיבלנו. f ( ) du u ( u) du 5 u + + c ( ) f ( ) u + c f c נציב את הביטוי עבור u ונקבל: c לקבלת C נציב ),4 :( c c ( ) f תשובה:

80 . <, ביטוי חיובי לכל, ב. תחום הגדרה: > 5 + הפונקציה מוגדרת לכל. גרף הפונקציה מופיע בסעיף הבא לצורך חישוב שטח. y ג. משוואת המשיק בנקודת המינימום: 4 y גרף הפונקציה: y 4 נחשב את נפח גוף הסיבוב. ( ) ( ) ( ) V π f d π 4 d π d π 6d 4π 4π + 5 6π 4π + 5 6π g( ) y 5 ד. ) g( ) f '( f '( ). - S מסעיף קודם כאשר ל- ( f ( יש נקודת מינימום < f '( ), שלילית כאשר > f '( ), חיובית כאשר. נמצא את נקודת החיתוך בין ( )g לישר y 5 צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 8

81 + 5 Y ( ) : 5 5( ) ( ) בבדיקה אינו פתרון של המשוואה f ( ) + 5 S f d f f '( ) ( ) 4 ( ) + f ( )

82 פתרון מבחן מתכונת מס' 6 פתרון שאלה מהירות זמן דרך נפגשו באמצע הדרך, כל רוכב נסע ק מ y y רוכב אופניים רוכב קטנוע לפני הפגישה רוכב אופניים 4 4 רוכב קטנוע 4y 4 y אחרי הפגישה משוואה I: רוכב הקטנוע יצא שעתיים אחרי רוכב האופניים, כלומר: + y 4 + 4y 8 משוואה :II I II + y 4 + 4y 8 : 4 y y + y + y 45 :I נציב ביטוי זה במשוואה y 45 - ( - ) צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 8

83 , 5 49 ± 4 לא ייתכן Z 4 ] y 45-5 תשובה: מהירות רוכב האופניים קמ ש. מהירות רוכב הקטנוע 5 קמ ש. 8

84 S נוסחאות: ( q -) q - - q פתרון שאלה. נתונה הסדרה ההנדסית:... 5,, 5,. שבה: 5 q, נתון כי סכום איברים החל במקום ה- k הוא 975 k S החל ב- כלומר 9,75 k k k k ( q -) 9, 75 q - ( 5 -) 9, 75 / , 5/ : 4 q 65 k- k k - 4 k 5 5 תשובה: 65. א. בסדרה איברים. S S - S 4 S S נתון: נוסחה: S + - d ( ) [ ] נציב בנוסחת הסכום לסדרה חשבונית 4 [ + ( - ) d] + ( - ) d ( + d - d) ( + d - d) [ ] נחלק את שני אגפי המשוואה ב: ) מספר טבעי( ( + d - d) + d - d 4 + d - d + d - d d ונקבל: צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 84

85 נוסחה: + - ( ) d ב. נתון: נציב בנוסחת האיבר הכללי לסדרה חשבונית + ( - ) d ( - ) d + + d d - d + 4 d - d + + d d + 4 d + d ומתוצאות סעיף א 4 נקבל 8 d S מקום זוגי S S + - d ( ) [ ] + ( -) 6 [ ] ( + 8-8) S ( 8 + 4) S ג. 85

86 פתרון שאלה נסמן: - A הצלחה בבדיקה ראשונה. - B הצלחה בבדיקה שניה. P( B). 9, P( A). 8 נתון: P( רק באחת (הצלחה P( A B) + P( A B). P( A B) נסמן: סה"כ.9... A.7..8 B סה"כ P( A B). - על פי הטבלה: P( A B) + P( A B). 8 P( A B). 8 - (. - ) PA B). 5 + P( A B) + P( A B). ידוע כי: נציב: P( A B). א. 7 יעבור לפחות P בדיקה אחת - P A B - ( ) ב. משמעות הפתרון היא כי יש סיכוי של % שהמכשיר יעבור את אחת הבדיקות או את שתיהן. P( P B A B / A) ( ). P( A). 8 8 ג. צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 86

87 פתרון שאלה 4 O E b M A b C 9-b 9- B א. צ"ל: 9 CEB בניית עזר: OC,MB רדיוסים. 9 OCB MBC רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה MEB זווית בסיס במשולש שו"ש MEB MBE OCE זווית בסיס במשולש שו"ש OEC OCE b EBC 9 חיסור זווית חיסור זווית ECB 9 b CEB + b חישוב זווית ב- CEB השלמה ל- 8 זווית שטוחה 8 OEM 8 b + + b + סכום זוויות על ישר + b 8 /: + b 9 9 CEB מ.ש.ל. ב. ב- AEC, AEB A A זווית משותפת ECB 9 b מסעיף קודם על פי סעיף א': 9 - b AEB ACE AEB ACE )ז.ז( 87

88 יחס הדמיון AE AC EB CE AB AE AE AC AB מ.ש.ל. ג. נתון: 6 ס"מ AB, 9 ס"מ BC 5 ס"מ % AC נציב בתוצאת סעיף ב'. AE AE ס"מ AE ב- ACO משפט פיתגורס CO + AC AO נסמן: CO OE R AO AE + OE + R R + 5 ( + R) / R R + R 5 4R/ : R נציב: ב- ABM MB + AB AM משפט פיתגורס ME MB r נסמן: AE AM + ME AM + r AM r r) r + 6 ( - נציב: r r + r 4r 44 r.6, 6. ס"מ ס"מ תשובה: צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 88

89 פתרון שאלה 5 D C E א. ב- ABC, AOD 9 ADO רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה. 9 C נתון A 9 O B זווית משותפת A A AOD ~ ABC )ז.ז( מ.ש.ל. OD יחס הדמיון סעיף א'. BC AD AC ב. נתון: ס"מ R ס"מ OE OD רדיוסים נתון + רדיוס מאונך למשיק C E 9 D ODCE ריבוע - מלבן שבו זוג צלעות סמוכות )רדיוסים( שוות. ס"מ CE DC נתון: ס"מ AC 9 % ס"מ AD נציב בהתאם על פי יחס הדמיון ונקבל 9 BC תשובה: 8 ס"מ BC 89

90 A פתרון שאלה 6 B E 6 8 M 4 D 6 C משפט נקודת מפגש התיכונים מחלקת את התיכונים ביחס, : החלק הגדול הוא החלק הקרוב לקודקוד לכן נתון: AD, כלומר: 4 MD AM 8, AE cos6 נתון כי: 9 CE, כלומר: ME MC 6, o SAME 6 א. נתבונן ב- AME. לפי משפט הקוסינוסים:.7 ס מ 5.85 AB AE 5.85 AB AE + EB AE EB DC cos6 נתבונן ב- DMC : 7.6 ס מ.6 BC DC.6 BC BD + DC, BD DC c b b cosγ cos תשובה: 7.6 ס"מ BC,.7 ס"מ AB ב. נתבונן ב- ADB. נסמן: S ADB לפי משפט הקוסינוסים: - + cosγ + b + c נבודד מתוך הנוסחה את : cosγ b נציב על-פי הנתונים: AD + BD - AB AD BD צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 9

91 cos..6 תשובה: 76.5 הערה: תיכון מחלק משולש לשני משולשים שווי שטח, לשניהם צלע וגובה לצלע זהים. ג. לכן: S S ABD ADC S ABC AD BD si S ABD.6 si 76.5 o S ABC תשובה: 4.6 סמ"ר ד. נמצא את BABC זוויות צמודות לכן המרובע אינו בר חסימה. S ABD AB BD sibabc si BABC 4. 6 BABC BEMD BABC + BEMD > 8 AC cos AC.. si R R ה. 9

92 f ( ) + 6 פתרון שאלה 7 א. נתונה הפונקציה f '( ) ( ) ( ) 64 y ( + 6) נגזור לקבלת שיפוע המשיק: משוואת המשיק בנקודה ),(: + 6 תשובה: y - d ב. חישוב השטח: 44 * * הסבר למטה תשובה: * נשתמש בשיטת "הניחוש" כלומר על פי זיהוי הנגזרת הפנימית או החיצונית. נגזור את הביטוי * כדי לבדוק שאכן מתקבל הביטוי בתוך האינטגרנט. או * נשתמש בשיטת ההצבה: u נסמן: + 6 על-ידי גזירה של שני האגפים נקבל: du d du d נחליף ביטוי זה ב- d באינטגרל du du + 6 u u d + u 6 צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 9

93 g'( ) g'( ) ( ) < - ( + 6) g'( ) g( ) + 6. תחום הגדרה: נגזרת הפונקציה ג. < ) g'( לכל לכן הפונקציה יורדת לכל בתחום הגדרתה.. גרף הפונקציה ) : g( y y - אסימפטוטות: + y - y - 4 V π π 4 4 π d π d 4 6 d π d π ( -) π. V 4 π d π π - π π 4 4 V. 5π -. תשובה: 5π π 9

94 פתרון שאלה 8 ( ) א. + 4 f נגזור פעמיים את הפונקציה כדי לבדוק את סימן הנגזרת השנייה: f ( ) + + f ( ) 4 ( f ( הוא ביטוי חיובי, הפונקציה קעורה כלפי מעלה + + הוא ביטוי חיובי לכל > ולכן כאשר 4 בכל תחום הגדרתה. ב. למציאת נקודת השקה נסמנה ב- (4 + t (,t t ונשווה בין שיפוע לפי נגזרת ובין שיפוע לפי נוסחה, כלומר: שיפוע לפי נוסחה שיפוע לפי נגזרת נוסחה לחישוב שיפוע y - y m - } f t t t + - t t t + ( t) t - t ( ) t t t t + 8 t t 8 t 64 t 4 נקודת ההשקה: ) 4, ( 4 f ( 4) שיפוע המשיק: y משוואת המשיק: צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 94

95 ג. (,4) (4,) (,) חישוב השטח:.5 ( 4 ) ( 4 ) 4 4 S + - d + - d ( ) ( ) ( ) ד. V π + 4 d - π d π d - π 9 d π π π ( ) - π ( ) π - 9π 8.4π y. 5 g( ) f ( ) (- ) ה. תחום הגדרה: (, 4)mi. 5 g'( ) -. 5( - ) g''( ). 5( - ) 4 - יורדת לכל g( ) לכן g'( ) < קעורה כלפי מעלה לכל g( ) לכן g''( ) > 95

96 פתרון שאלה 9 נסמן: צלע הבסיס. נתון כי נפח התיבה 4 סמ ק. נוסחה לחישוב נפח: גובה X שטח הבסיס V נקבל את גובה התיבה h מבוטא באמצעות. 4 4 h h שטח שני הבסיסים:. עלות הבסיסים: ועלותן: 4 שטח ארבע פאות צדדיות: הפונקציה שנבנה מייצגת את ההוצאות על החומר: 56 ( ) + f f ( ) : ( ) f מינימום f ( ) ] Z ממדי התיבה שעבורם ההוצאות על החומר מינימליות: + תשובה: אורך צלע הבסיס: ס מ 4 ( ) גובה התיבה:.69 ס"מ צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 96